カントール空間、ベール空間、および関連する位相空間の構造に関する完全な解説

強三角不等式 $d(x, z) \le \max \{ d(x, y), d(y, z) \}$ を示す。$x = z$ の場合は自明である。$x \neq z$ とし、$d(x, z) = 2^{-k}$ とおく。すなわち、$x$ と $z$ は最初の $k$ 個の座標が一致し、第 $k$ 座標で $x_k \neq z_k$ となる。任意の $y \in X$ をとるとき、$y_k$ は $x_k$ と異なるか、$z_k$ と異なるかの少なくとも一方を満たす。前者の場合は $d(x, y) \ge 2^{-k}$ であり、後者の場合は $d(y, z) \ge 2^{-k}$ である。いずれにせよ $\max \{ d(x, y), d(y, z) \} \ge 2^{-k} = d(x, z)$ が成立する。
また、中心 $x \in X$、半径 $r = 2^{-n+1}$ の開球 $B_r(x) = \{ y \in X \mid d(x, y) < r \}$ を考えると、これは $d(x, y) \le 2^{-n}$ と同値であり、すなわち最初の $n$ 個の座標が一致する集合 $U(x_0, \dots, x_{n-1})$ に他ならない。球全体が開基をなすことより、$d$ による位相と直積位相は一致する。

定義より $V$ は開集合である。その補集合を考えると、 $$ X \smallsetminus V = \bigcup \{ U(b_0, \dots, b_{n-1}) \mid (b_0, \dots, b_{n-1}) \in A^n \smallsetminus \{(a_0, \dots, a_{n-1})\} \} $$ と表される。開集合の任意の和集合は開集合であるから、$X \smallsetminus V$ は開集合である。したがって $V$ は閉集合でもある。

補題 1.3 より $2^\mathbb{N}$ は超距離 $d$ によって距離化可能である。
完備性： $2^\mathbb{N}$ 内のコーシー列 $(x^{(m)})_{m \in \mathbb{N}}$ をとる。任意の $k \in \mathbb{N}$ に対して、ある $M \in \mathbb{N}$ が存在し、$m, l \ge M$ ならば $d(x^{(m)}, x^{(l)}) \le 2^{-k}$ となる。これは $m, l \ge M$ において各列の最初の $k$ 個の座標が完全に一致することを意味する。したがって、各 $n \in \mathbb{N}$ に対して座標列 $(x^{(m)}_n)_{m \in \mathbb{N}}$ は最終的に一定の値 $x_n \in \{0, 1\}$ に収束する。数列 $x = (x_n)_{n \in \mathbb{N}} \in 2^\mathbb{N}$ を定めると、$x^{(m)}$ は距離 $d$ において $x$ に収束する。よって完備である。
可分性： 最終的にすべて $0$ となる数列全体の集合 $D = \{ x \in 2^\mathbb{N} \mid \exists N, \forall n \ge N, x_n = 0 \}$ を考える。$D = \bigcup_{N=0}^\infty \{ x \in 2^\mathbb{N} \mid \forall n \ge N, x_n = 0 \}$ であり、各成分集合は有限集合 $\{0, 1\}^N$ と同型であるから、$D$ は可算和集合として可算集合である。任意の $y \in 2^\mathbb{N}$ と任意のシリンダー近傍 $U(y_0, \dots, y_{n-1})$ に対し、$z = (y_0, \dots, y_{n-1}, 0, 0, \dots) \in D \cap U(y_0, \dots, y_{n-1})$ が存在する。よって $D$ は稠密であり、$2^\mathbb{N}$ は可分である。

シリンダー集合全体の族は clopen 集合からなる開基をなすため、$2^\mathbb{N}$ は定義により零次元である。
一般に、コンパクト Hausdorff 空間 $Y$ において、完全不連結であることと零次元であることは同値である。以下にその証明を与える。
$Y$ をコンパクト Hausdorff 空間とし、完全不連結であると仮定する。任意の $y \in Y$ とその任意の開近傍 $U$ をとる。$A = Y \smallsetminus U$ は閉集合であり、コンパクト空間の閉部分集合としてコンパクトである。$y$ の準成分 (quasi-component) $Q_y$（$y$ を含むすべての clopen 集合の共通部分）を考えると、コンパクト Hausdorff 空間においては $Q_y$ は $y$ の連結成分と一致する。$Y$ は完全不連結であるから $Q_y = \{y\}$ である。したがって、任意の $z \in A$ に対して $z \notin Q_y$ であり、$y \in C_z$ かつ $z \notin C_z$ となる clopen 集合 $C_z$ が存在する。$\{ Y \smallsetminus C_z \}_{z \in A}$ は $A$ の開被覆となる。$A$ のコンパクト性より、有限部分被覆 $\{ Y \smallsetminus C_{z_i} \}_{i=1}^m$ が存在する。$C = \bigcap_{i=1}^m C_{z_i}$ とおくと、$C$ は有限個の clopen 集合の交わりであるから clopen であり、$y \in C$ かつ $C \cap A = \varnothing$（すなわち $C \subset U$）を満たす。以上より、$y$ の clopen な近傍基が存在するので $Y$ は零次元である。

孤立点の非存在： 任意の $x \in 2^\mathbb{N}$ とその任意の基本開近傍 $V = U(x_0, \dots, x_{n-1})$ をとる。点 $y \in 2^\mathbb{N}$ を、$i < n$ で $y_i = x_i$、$y_n = 1 - x_n$、$i > n$ で $y_i = x_i$ と定義すると、$y \in V$ かつ $y \neq x$ である。したがって $\{x\}$ は開集合になり得ず、孤立点は存在しない。
コンパクト性： 離散空間 $\{0, 1\}$ は有限集合であるからコンパクトである。Tychonoff の定理により、コンパクト空間の任意個の直積はコンパクトであるため、$2^\mathbb{N}$ はコンパクトである。

写像 $f \colon 2^\mathbb{N} \to C$ を $$ f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{2 x_n}{3^{n+1}} $$ と定義する。3進展開の性質より、$f$ は $2^\mathbb{N}$ から $C$ への全単射である。
$f$ の連続性を示す。任意の $\varepsilon > 0$ に対し、$3^{-N} < \varepsilon$ となる $N \in \mathbb{N}$ をとる。$d(x, y) \le 2^{-N}$ ならば、 $x$ と $y$ の最初の $N$ 個の座標は一致する。このとき、 $$ |f(x) - f(y)| = \left| \sum_{n=N}^\infty \frac{2 (x_n - y_n)}{3^{n+1}} \right| \le \sum_{n=N}^\infty \frac{2}{3^{n+1}} = \frac{1}{3^N} < \varepsilon $$ となり、$f$ は連続である。コンパクト空間 $2^\mathbb{N}$ から Hausdorff 空間 $C$ への連続全単射は同相写像であるため、$f$ は同相写像である。

定理 2.1 と同様に、離散空間 $\mathbb{N}$ の可算直積として完備距離化可能であり、最終的に $0$ となる整数列全体の集合が可算稠密となるため Polish である。また、シリンダー集合が clopen 開基となるため零次元である。

ある点 $x \in \mathbb{N}^\mathbb{N}$ がコンパクトな近傍 $K$ を持つと仮定して矛盾を導く。 開基の定義より、$x \in V \subset K$ となるシリンダー集合 $V = U(x_0, \dots, x_{n-1})$ が存在する。$V$ は closed であるから、コンパクト集合 $K$ の閉部分集合として $V$ もコンパクトでなければならない。
ここで、$V$ 内の点列 $(y^{(k)})_{k \in \mathbb{N}}$ を次のように構成する： $$ y^{(k)}_i = \begin{cases} x_i & (i < n \text{ のとき}) \\ k & (i = n \text{ のとき}) \\ 0 & (i > n \text{ のとき}) \end{cases} $$ 各 $y^{(k)}$ は最初の $n$ 個の座標が $x$ と一致するため $y^{(k)} \in V$ である。しかし、相異なる $k \neq l$ に対し、$y^{(k)}$ と $y^{(l)}$ は第 $n$ 座標が異なるため、$d(y^{(k)}, y^{(l)}) = 2^{-n}$ となる。したがって、点列 $(y^{(k)})$ のいかなる部分列もコーシー列にならず、収束部分列を持たない。これは距離空間 $V$ のコンパクト性に矛盾する。ゆえに、どの点も局所コンパクトでない。

対偶「孤立点が存在すれば、ある点で局所コンパクトになる」を示す。 $x \in \mathbb{N}^\mathbb{N}$ が孤立点であると仮定する。このとき 1 点集合 $\{x\}$ は開集合である。また $\{x\}$ は有限集合であるからコンパクトである。したがって $\{x\}$ は $x$ のコンパクトな開近傍となり、空間は $x$ において局所コンパクトとなる。対偶が示されたので、どの点も局所コンパクトでない空間には孤立点が存在しない。

以下の 3 段階に分けて証明する。
段階 1: $\mathbb{N}^\mathbb{N} \cong (\mathbb{N}_{>0})^\mathbb{N}$
$\mathbb{N}$ と $\mathbb{N}_{>0} = \{1, 2, 3, \dots\}$ はともに可算無限離散空間であるから、全単射 $j \colon \mathbb{N} \to \mathbb{N}_{>0}$（例えば $j(n) = n + 1$）は同相写像である。各座標に $j$ を適用する写像 $J((x_n)) = (j(x_n))$ は同相写像 $\mathbb{N}^\mathbb{N} \to (\mathbb{N}_{>0})^\mathbb{N}$ を与える。
段階 2: $\mathbb{R} \smallsetminus \mathbb{Q} \cong (0, 1) \smallsetminus \mathbb{Q}$
写像 $h \colon \mathbb{R} \to (-1, 1)$ を $h(x) = \frac{x}{1+|x|}$ と定めると、これは同相写像であり、$x \in \mathbb{Q} \iff h(x) \in \mathbb{Q}$ を満たす。さらに affine 変換 $k(t) = \frac{t+1}{2}$ を合成した $k \circ h \colon \mathbb{R} \to (0, 1)$ も同相写像であり有理数性を保存する。制限により $\mathbb{R} \smallsetminus \mathbb{Q} \cong (0, 1) \smallsetminus \mathbb{Q}$ を得る。
段階 3: $(\mathbb{N}_{>0})^\mathbb{N} \cong (0, 1) \smallsetminus \mathbb{Q}$
$(0, 1)$ 内の任意の無理数 $x$ は、正整数列 $(a_0, a_1, a_2, \dots) \in (\mathbb{N}_{>0})^\mathbb{N}$ を用いて一意に無限連分数展開される： $$ x = \cfrac{1}{a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \ddots}}} $$ この対応を $\phi \colon (\mathbb{N}_{>0})^\mathbb{N} \to (0, 1) \smallsetminus \mathbb{Q}$ とする。連分数の第 $n$ 近似分数を $p_n / q_n$ とすると、初めの $n$ 項 $(a_0, \dots, a_{n-1})$ を固定したシリンダー集合の像は、$p_{n-1}/q_{n-1}$ と $(p_{n-1} + p_{n-2})/(q_{n-1} + q_{n-2})$ を端点とする開区間内の無理数全体と一致する。これらの開区間は $(0, 1) \smallsetminus \mathbb{Q}$ の相対位相の開基をなすため、全単射 $\phi$ は開基を開基に写す。ゆえに $\phi$ は同相写像である。
段階 1〜3 を合成することにより、$\mathbb{N}^\mathbb{N} \cong \mathbb{R} \smallsetminus \mathbb{Q}$ が得られる。

証明を 2 つの同相関係に分ける。
(1) $\mathbb{Z}[[T]] \cong \mathbb{Z}^\mathbb{N}$ の証明：
写像 $\Phi \colon \mathbb{Z}[[T]] \to \mathbb{Z}^\mathbb{N}$ を $\Phi(\sum_{i=0}^\infty a_i T^i) = (a_0, a_1, a_2, \dots)$ と定義する。形式的冪級数はその係数列により一意に決まるため $\Phi$ は全単射である。 $\mathbb{Z}^\mathbb{N}$ の開基をなすシリンダー集合 $U(c_0, \dots, c_{n-1})$ に対し、その $\Phi$ による逆像は $$ \Phi^{-1}(U(c_0, \dots, c_{n-1})) = \{ f \in \mathbb{Z}[[T]] \mid f(T) \equiv \sum_{i=0}^{n-1} c_i T^i \pmod{T^n} \} = g + T^n \mathbb{Z}[[T]] $$ （ただし $g = \sum_{i=0}^{n-1} c_i T^i$）となる。これは $\mathbb{Z}[[T]]$ の開基そのものであるから、$\Phi$ は開基を開基に移す全単射であり、同相写像である。
(2) $\mathbb{Z}^\mathbb{N} \cong \mathbb{N}^\mathbb{N}$ の証明：
写像 $h \colon \mathbb{Z} \to \mathbb{N}$ を $$ h(x) = \begin{cases} 2x & (x \ge 0 \text{ のとき}) \\ -2x - 1 & (x < 0 \text{ のとき}) \end{cases} $$ と定義すると、$h$ は離散空間同士の全単射同相写像である。各座標ごとに $h$ を適用する写像 $H \colon \mathbb{Z}^\mathbb{N} \to \mathbb{N}^\mathbb{N}$、$H(x_0, x_1, \dots) = (h(x_0), h(x_1), \dots)$ を定めると、直積位相の定義より $H$ は全単射同相写像となる。
合成 $H \circ \Phi \colon \mathbb{Z}[[T]] \to \mathbb{N}^\mathbb{N}$ により同相性が示された。

空間の clopen 分割を行って証明する。
$W_0 = \{ f \in \mathbb{Z}((T)) \mid \mathrm{ord}(f) \ge 0 \} = \mathbb{Z}[[T]]$ とおく。
補題 5.2.1: $W_0$ は $\mathbb{Z}((T))$ の clopen 部分集合であり、$W_0 \cong \mathbb{N}^\mathbb{N}$ である。
（証明）$W_0 = \{ f \mid d(f, 0) \le 1 \}$ である。任意の $f \in W_0$ に対し $B_1(f) \subset W_0$ となるため開集合である。また $g \notin W_0$ ならば $r = d(g, 0) > 1$ であり、超距離の性質より $B_r(g) \cap W_0 = \varnothing$ となるので補集合も開集合である。よって $W_0$ は clopen である。相対位相は $\mathbb{Z}[[T]]$ の $T$ 進位相と一致するため、定理 4.2 より $W_0 \cong \mathbb{N}^\mathbb{N}$ である。
補題 5.2.2: 補集合 $U = \mathbb{Z}((T)) \smallsetminus W_0$ について、$U \cong \mathbb{N}^\mathbb{N}$ である。
（証明）$U = \bigsqcup_{k=1}^\infty V_{-k}$ と分解する。ただし $V_{-k} = \{ f \in \mathbb{Z}((T)) \mid \mathrm{ord}(f) = -k \}$ である。超距離空間において中心からの距離が一定の集合は clopen であるため、各 $V_{-k}$ は clopen である。 $f \in V_{-k}$ は $f(T) = \sum_{n=-k}^\infty a_n T^n$ ($a_{-k} \neq 0$) と書ける。写像 $\Psi_k \colon V_{-k} \to (\mathbb{Z} \smallsetminus \{0\}) \times \mathbb{Z}^\mathbb{N}$ を $$ \Psi_k \left( \sum_{n=-k}^\infty a_n T^n \right) = (a_{-k}, (a_{-k+1}, a_{-k+2}, \dots)) $$ と定めると $\Psi_k$ は同相写像である。$\mathbb{Z} \smallsetminus \{0\} \cong \mathbb{N}$ および $\mathbb{Z}^\mathbb{N} \cong \mathbb{N}^\mathbb{N}$ より、$V_{-k} \cong \mathbb{N} \times \mathbb{N}^\mathbb{N} \cong \mathbb{N}^\mathbb{N}$ である。 位相和の性質から $U \cong \bigoplus_{k=1}^\infty \mathbb{N}^\mathbb{N} \cong \mathbb{N} \times \mathbb{N}^\mathbb{N} \cong \mathbb{N}^\mathbb{N}$ を得る。
全体空間の結合：
$\mathbb{Z}((T)) = W_0 \sqcup U \cong \mathbb{N}^\mathbb{N} \oplus \mathbb{N}^\mathbb{N} \cong \{0, 1\} \times \mathbb{N}^\mathbb{N}$ である。 写像 $g \colon \{0, 1\} \times \mathbb{N}^\mathbb{N} \to \mathbb{N}^\mathbb{N}$ を $$ g(0, (x_0, x_1, x_2, \dots)) = (2 x_0, x_1, x_2, \dots) $$ $$ g(1, (x_0, x_1, x_2, \dots)) = (2 x_0 + 1, x_1, x_2, \dots) $$ と定義すると、$g$ は全単射であり、シリンダー集合を開基に写し合うため同相写像である。 したがって、$\mathbb{Z}((T)) \cong \mathbb{N}^\mathbb{N}$ である。

証明 1（開基の直接対応による証明）：
(i) $\mathrm{id} \colon X \to Y$ の連続性：
$Y$ の準開基 $R(a) = \{ x \mid x > a \}$ の $\mathrm{id}$ による逆像（集合として $R(a)$ 自身）が $X$ で開集合であることを示す。 任意な $x \in R(a)$ をとると $x > a$ である。$k = \min \{ n \mid x_n \neq a_n \}$ とおくと $x_k = 1, a_k = 0$ である。 $X$ の基本開集合 $V = U(x_0, \dots, x_k)$ をとる。任意の $y \in V$ について、$i < k$ では $y_i = x_i = a_i$ であり、$y_k = x_k = 1 > 0 = a_k$ となるため、$y > a$ すなわち $y \in R(a)$ である。 ゆえに $x \in V \subset R(a)$ となり、$R(a)$ は $X$ の開集合である。同様に $L(a)$ も $X$ の開集合となるため、$\mathrm{id}$ は連続である。

(ii) $\mathrm{id}^{-1} \colon Y \to X$ の連続性：
$X$ の任意の基本開集合 $C = U(c_0, \dots, c_{n-1})$ が $Y$ で開集合であることを示す。 $u, v \in \{0, 1\}^\mathbb{N}$ を次のように定める： $$ u_i = \begin{cases} c_i & (i < n \text{ のとき}) \\ 0 & (i \ge n \text{ のとき}) \end{cases}, \quad v_i = \begin{cases} c_i & (i < n \text{ のとき}) \\ 1 & (i \ge n \text{ のとき}) \end{cases} $$ このとき $C = [u, v] = \{ x \in \{0, 1\}^\mathbb{N} \mid u \le x \le v \}$ であることを確認する。実際、$x \in C$ ならば明らかに $u \le x \le v$ である。逆に $x \notin C$ とすると、$x_j \neq c_j$ となる最小の $j < n$ が存在する。$x_j = 0$ ($c_j = 1$) ならば $x < u$ であり、$x_j = 1$ ($c_j = 0$) ならば $x > v$ となるため $x \notin [u, v]$ である。
区間 $[u, v] = \{ x \mid u \le x \} \cap \{ x \mid x \le v \}$ が $Y$ で開であることを示すため、$\{ x \mid u \le x \}$ と $\{ x \mid x \le v \}$ が開であることを示す。
・下限 $u$ について： $u = (0, 0, \dots)$ ならば $\{ x \mid u \le x \} = Y$ （全空間）で開である。 $u \neq (0, 0, \dots)$ のとき、$i \ge n$ では $u_i = 0$ であるから、$u_k = 1$ となる最大のインデックス $k$ は $k < n$ に存在する。 数列 $u' \in \{0, 1\}^\mathbb{N}$ を次のように定義する： $$ u'_i = \begin{cases} u_i & (i < k \text{ のとき}) \\ 0 & (i = k \text{ のとき}) \\ 1 & (i > k \text{ のとき}) \end{cases} $$ ここで $u' < u$ である。さらに $u' < z < u$ を満たす $z$ が存在しないことを背理法で示す。 仮にそのような $z$ が存在したとする。$u' < z$ より、両者が初めて異なるインデックスを $m$ とすると $u'_m = 0, z_m = 1$ である。
1) $m < k$ の場合：$i < k$ では $u_i = u'_i$ であるから、$i < m$ で $z_i = u'_i = u_i$ かつ $z_m = 1 > 0 = u'_m = u_m$ となり、$z > u$ となって矛盾する。
2) $m = k$ の場合：$i < k$ で $z_i = u'_i = u_i$ であり、$z_k = 1 = u_k$ となる。$i > k$ において $u_i = 0$ であるから、どのような $z$ であっても $z \ge u$ となり $z < u$ に矛盾する。
3) $m > k$ の場合：$u'_m = 0$ となり得るのは定義より $m \le k$ の場合のみである（$i > k$ では $u'_i = 1$）。したがってこの場合は起こり得ない。
直間の元が存在しないため、$\{ x \mid u \le x \} = \{ x \mid u' < x \} = R(u')$ となり、これは $Y$ の開集合である。
・上限 $v$ について： $v = (1, 1, \dots)$ ならば $\{ x \mid x \le v \} = Y$ で開である。 $v \neq (1, 1, \dots)$ のとき、$i \ge n$ で $v_i = 1$ より、$v_m = 0$ となる最大のインデックス $m$ は $m < n$ に存在する。 数列 $v' \in \{0, 1\}^\mathbb{N}$ を $$ v'_i = \begin{cases} v_i & (i < m \text{ のとき}) \\ 1 & (i = m \text{ のとき}) \\ 0 & (i > m \text{ のとき}) \end{cases} $$ と定義すると、$v < v'$ であり、$v < z < v'$ なる $z$ は存在しない。したがって $\{ x \mid x \le v \} = \{ x \mid x < v' \} = L(v')$ となり、$Y$ の開集合である。
以上より $C = [u, v] = R(u') \cap L(v')$ は $Y$ の 2 つの開集合の交わりであるから $Y$ で開集合である。よって $\mathrm{id}^{-1}$ は連続であり、$\mathrm{id}$ は同相写像である。

証明 2（コンパクト性と Hausdorff 性による証明）：
(1) $X$ のコンパクト性： 定理 2.3 より、$X = \{0, 1\}^\mathbb{N}$ は Tychonoff の定理によりコンパクト空間である。
(2) $Y$ の Hausdorff 性： 相異なる 2 点 $x, y \in Y$ をとる。一般性を失わず $x < y$ とする。
・場合 1: $x < z < y$ となる $z \in Y$ が存在する場合。
$U = L(z) = \{ w \in Y \mid w < z \}$ および $V = R(z) = \{ w \in Y \mid w > z \}$ とおくと、$U, V$ は $Y$ の開集合であり、$x \in U, y \in V$ かつ $U \cap V = \varnothing$ を満たす。
・場合 2: $x < z < y$ となる $z \in Y$ が存在しない場合。
$U = L(y) = \{ w \in Y \mid w < y \}$ および $V = R(x) = \{ w \in Y \mid w > x \}$ とおくと、$U, V$ は $Y$ の開集合であり、$x \in U, y \in V$ である。共通部分は $U \cap V = \{ w \in Y \mid x < w < y \} = \varnothing$ である。
いずれの場合も分離開集合が存在するため、$Y$ は Hausdorff 空間である。
(3) 同相性の結語： 証明 1 (i) で示した通り、恒等写像 $\mathrm{id} \colon X \to Y$ は連続である。 「コンパクト空間から Hausdorff 空間への連続な全単射は同相写像である」という位相空間論の基本定理を適用する。 実際、$X$ の任意の閉集合 $K$ はコンパクト空間の閉部分集合としてコンパクトであり、連続像 $\mathrm{id}(K)$ も $Y$ でコンパクトである。$Y$ は Hausdorff であるから $\mathrm{id}(K)$ は $Y$ の閉集合となる。したがって $\mathrm{id}$ は閉写像であり、全単射連続閉写像であるから同相写像である。

証明は、条件を満たす $X$ 上に正の径を持つ分割の系統（Lusin スキーム）を構成し、$2^\mathbb{N}$ から $X$ への同相写像を構築することで行う。

【準備：零次元性の導出】
定理 2.2 の証明の論理と同様に、$X$ はコンパクト Hausdorff かつ完全不連結であるため、零次元（clopen 集合全体が開基をなす）である。また Polish 空間であるため、互換な完全可分距離 $d \le 1$ が存在する。

【段階 1: clopen 分割 Lusin スキームの構成】
$2^{<\mathbb{N}} = \bigcup_{n=0}^\infty \{0, 1\}^n$ の各有限列 $s = (s_0, \dots, s_{n-1})$ に対し、以下の性質を満たす $X$ の非空 clopen 集合 $U_s$ を帰納的に構成する：

1. $U_\emptyset = X$。
2. 各 $s \in 2^n$ に対し、$U_s = U_{s \smallfrown 0} \sqcup U_{s \smallfrown 1}$ （非空 clopen 集合による2分割）。
3. $\mathrm{diam}(U_s) \le 2^{-n}$。

帰納ステップ： $n$ 項目で $U_s$ （$s \in 2^n$）まで構成されたとする。$U_s$ は $X$ の非空 clopen 集合であり、$X$ が孤立点を持たない閉集合であるため、$U_s$ も孤立点を持たず、2点以上を含む。相異なる 2 点 $x, y \in U_s$ をとる。$r = d(x, y) / 2 > 0$ とおく。
$U_s$ は零次元コンパクト空間であるため、$x$ の clopen 近傍 $V \subset U_s$ で $\mathrm{diam}(V) < \min(2^{-(n+1)}, r)$ かつ $y \notin V$ を満たすものが存在する。 $U_{s \smallfrown 0} = V$, $U_{s \smallfrown 1} = U_s \smallsetminus V$ と定めると、$U_{s \smallfrown 0}$ と $U_{s \smallfrown 1}$ はともに非空な clopen 集合で $U_s$ の分割を与え、適切な点分割により直径を $2^{-(n+1)}$ 未満に取ることができる。

【段階 2: 同相写像 $\phi \colon 2^\mathbb{N} \to X$ の定義と全単射性】
無限列 $\alpha = (\alpha_0, \alpha_1, \alpha_2, \dots) \in 2^\mathbb{N}$ に対し、閉集合列の減少列 $$ U_{\alpha \upharpoonright 0} \supset U_{\alpha \upharpoonright 1} \supset U_{\alpha \upharpoonright 2} \supset \dots $$ を考える。各 $U_{\alpha \upharpoonright n}$ は非空コンパクト集合であり、径が $\mathrm{diam}(U_{\alpha \upharpoonright n}) \le 2^{-n} \to 0$ と減少するため、カントールの積集合定理（Cantor's Intersection Theorem）により、交わりは単一の点からなる： $$ \bigcap_{n=0}^\infty U_{\alpha \upharpoonright n} = \{ f(\alpha) \} $$ これにより写像 $f \colon 2^\mathbb{N} \to X$ を $f(\alpha) = x$ と定義する。
・単射性： $\alpha \neq \beta \in 2^\mathbb{N}$ とすると、ある最小の $k$ で $\alpha_k \neq \beta_k$ となる。 このとき $s = \alpha \upharpoonright k = \beta \upharpoonright k$ とおくと、$U_{s \smallfrown \alpha_k}$ と $U_{s \smallfrown \beta_k}$ は互いに素である。 $f(\alpha) \in U_{s \smallfrown \alpha_k}$ かつ $f(\beta) \in U_{s \smallfrown \beta_k}$ より、$f(\alpha) \neq f(\beta)$ である。
・全射性： 任意点 $x \in X$ に対し、$x \in U_\emptyset = X$ である。構成より各 $n$ で $x \in U_s$ となる $s \in 2^n$ が一意に存在する。これらを繋ぐことで無限列 $\alpha \in 2^\mathbb{N}$ が一意に定まり、$f(\alpha) = x$ となる。

【段階 3: 連続性と結語】
任意の $\varepsilon > 0$ に対し、$2^{-N} < \varepsilon$ なる $N$ をとる。$d_{2^\mathbb{N}}(\alpha, \beta) \le 2^{-N}$ ならば $\alpha \upharpoonright N = \beta \upharpoonright N = s$ である。 このとき $f(\alpha), f(\beta) \in U_s$ であり、$\mathrm{diam}(U_s) \le 2^{-N} < \varepsilon$ より $d_X(f(\alpha), f(\beta)) < \varepsilon$ となる。ゆえに $f$ は連続である。
$2^\mathbb{N}$ はコンパクトであり $X$ は Hausdorff であるから、連続全単射 $f \colon 2^\mathbb{N} \to X$ は同相写像である。ゆえに $X \cong 2^\mathbb{N}$。

証明は、ベール空間に適合した可算無限分岐の Lusin スキーム（Baire Lusin Scheme）を $X$ 上に構築することによって行う。

【準備：完備距離と clopen 開基】
$X$ は Polish 空間かつ零次元であるため、完備距離 $d \le 1$ が存在し、かつ $X$ の位相は非空 clopen 集合全体の族 $\mathcal{B}_{cl}$ を開基として持つ。

【補題 7.3.1 (局所非コンパクト clopen 集合の可算無限 clopen 分割)】
$V \in \mathcal{B}_{cl}$ がどの点でも局所コンパクトでないならば、$V$ は可算無限個の互いに素な clopen 集合の和 $V = \bigsqcup_{i=0}^\infty V_i$ に分解でき、各 $V_i$ も非空かつどの点でも局所コンパクトでなく、さらに $\mathrm{diam}(V_i) < \frac{1}{2} \mathrm{diam}(V)$（あるいは指定された半径未満）にできる。
（補題の証明） $V$ は局所コンパクトでないため、コンパクトでない。$V$ の clopen 開基から互いに素な非空 clopen 集合の可算無限系列 $\{W_k\}_{k=0}^\infty$ で $V = \overline{\bigcup_{k=0}^\infty W_k}$ となるものが取れる。これらの径を十分小さく取り、剰余を調整することで、全空間を無可算かつ局所非コンパクトな性質を各部分に引き継がせたまま $V = \bigsqcup_{i=0}^\infty V_i$ と分割できる。

【段階 1: Infinite Lusin Scheme の構築】
$\mathbb{N}^{<\mathbb{N}} = \bigcup_{n=0}^\infty \mathbb{N}^n$ の各元 $s = (s_0, \dots, s_{n-1})$ に対し、$X$ の非空 clopen 集合 $U_s$ を以下の条件を満たすように帰納的に定義する：

1. $U_\emptyset = X$。
2. 任意の $s \in \mathbb{N}^{<\mathbb{N}}$ に対し、$U_s = \bigsqcup_{i=0}^\infty U_{s \smallfrown i}$。
3. 各 $U_s$ はどの点においても局所コンパクトでない。
4. $\mathrm{diam}(U_s) \le 2^{-\mathrm{length}(s)}$。

帰納ステップ： 補題 7.3.1 を $U_s$ に適用することにより、直径が $2^{-(n+1)}$ 未満であり、自身もどの点でも局所コンパクトでない非空 clopen 集合の分割 $\{ U_{s \smallfrown i} \}_{i \in \mathbb{N}}$ が直ちに得られる。

【段階 2: 同相写像 $g \colon \mathbb{N}^\mathbb{N} \to X$ の定義と全単射性】
任意の数列 $x = (x_0, x_1, x_2, \dots) \in \mathbb{N}^\mathbb{N}$ に対し、閉集合の減少列 $$ U_{x \upharpoonright 0} \supset U_{x \upharpoonright 1} \supset U_{x \upharpoonright 2} \supset \dots $$ を考える。各 $U_{x \upharpoonright n}$ は閉集合であり、距離空間 $X$ の完備性および $\lim_{n \to \infty} \mathrm{diam}(U_{x \upharpoonright n}) = 0$ より、 Cantor の完備距離空間における縮小閉集合列の定理により、その交わりは正確に 1 点からなる： $$ \bigcap_{n=0}^\infty U_{x \upharpoonright n} = \{ g(x) \} $$ これにより写像 $g \colon \mathbb{N}^\mathbb{N} \to X$ を定める。
・単射性： $x \neq y \in \mathbb{N}^\mathbb{N}$ とし、$k = \min \{ n \mid x_n \neq y_n \}$ とすると、$s = x \upharpoonright k = y \upharpoonright k$ に対し $U_{s \smallfrown x_k} \cap U_{s \smallfrown y_k} = \varnothing$ である。したがって $g(x) \neq g(y)$ である。
・全射性： 任意の $p \in X$ をとる。$p \in U_\emptyset = X$ である。構成 2 より $U_\emptyset = \bigsqcup_{i=0}^\infty U_{(i)}$ であるから、$p \in U_{(x_0)}$ となる $x_0 \in \mathbb{N}$ が一意に決まる。これを繰り返すことで $p \in U_{x \upharpoonright n}$ となる数列 $x = (x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ が一意に定まり、$g(x) = p$ となる。

【段階 3: 双連続性の証明】
・$g$ の連続性： 任意点 $x \in \mathbb{N}^\mathbb{N}$ と $\varepsilon > 0$ に対し、$2^{-N} < \varepsilon$ なる $N \in \mathbb{N}$ をとる。$y \in U(x_0, \dots, x_{N-1})$ ならば $g(y) \in U_{x \upharpoonright N}$ である。$g(x) \in U_{x \upharpoonright N}$ であり $\mathrm{diam}(U_{x \upharpoonright N}) \le 2^{-N} < \varepsilon$ であるから、$d_X(g(x), g(y)) < \varepsilon$。したがって $g$ は連続である。
・$g^{-1}$ の連続性： $X$ 内の開集合の像を示すため、$\mathbb{N}^\mathbb{N}$ の基本開集合 $V = U(s_0, \dots, s_{n-1})$ による像 $g(V)$ を考える。 定義より $g(V) = U_{(s_0, \dots, s_{n-1})}$ である。$U_s$ は構成より $X$ の開集合（clopen 集合）であるから、$g$ は開写像である。
以上より、全単射連続開写像 $g \colon \mathbb{N}^\mathbb{N} \to X$ は同相写像である。ゆえに $X \cong \mathbb{N}^\mathbb{N}$ である。

$X$ を距離 $d \le 1$ を持つ空でないコンパクト距離空間とする（コンパクト Polish 空間と同値である）。目的は、連続な全射 $f \colon 2^\mathbb{N} \to X$ を構成することである。
有限な長さの $0, 1$ の列 $s \in 2^{<\mathbb{N}}$ に対して、$X$ の空でない閉集合 $F_s$ を以下の条件を満たすように帰納的に構成する：

1. $F_\emptyset = X$
2. 任意の $s \in 2^{<\mathbb{N}}$ に対して、$F_s = F_{s \smallfrown 0} \cup F_{s \smallfrown 1}$
3. 長さ $n$ の列全体の集合を $2^n$ とするとき、$\lim_{n \to \infty} \max_{s \in 2^n} \mathrm{diam}(F_s) = 0$

【構成のステップ】
$X$ はコンパクトであるため、任意の $\varepsilon > 0$ に対して、$X$ を有限個の直径 $< \varepsilon$ の閉集合で被覆することができる。 長さ $n$ に応じた数列 $n_k$ を定めるため、以下のようにフェーズ $k=1, 2, \dots$ で構成を進める。
初期状態として $n_0 = 0$ とし、$F_\emptyset = X$ とおく。
ある $n_k$ まで構成が完了し、長さ $n_k$ の任意の列 $s$ に対して空でない閉集合 $F_s$ が定義されていると仮定する。 各 $s \in 2^{n_k}$ の $F_s$ は $X$ の閉部分集合であるからそれ自身コンパクトである。よって $F_s$ を有限個の空でない閉集合 $C_{s, 1}, \dots, C_{s, m_s}$ で被覆でき、それぞれの直径を $2^{-k}$ 未満にすることができる。 $M_k = \max_{s \in 2^{n_k}} m_s$ とおく。$2^{r_k} \ge M_k$ を満たす整数 $r_k \ge 1$ を選び、$n_{k+1} = n_k + r_k$ とする。
各 $s \in 2^{n_k}$ に対し、$s$ に続く長さ $r_k$ の列 $a = (a_1, \dots, a_{r_k})$ は $2^{r_k}$ 個存在する。これら $2^{r_k}$ 個の列 $t = s \smallfrown a$ に対し、集合 $\{C_{s, 1}, \dots, C_{s, m_s}\}$ の元を全射になるように割り当て、それを $F_t$ と定義する（例えば、最初の $m_s$ 個に $C_{s, 1}$ から $C_{s, m_s}$ を順に割り当て、残りはすべて $C_{s, 1}$ に割り当てる）。これにより、長さ $n_{k+1}$ の任意の $t$ に対し、$F_t$ は直径 $2^{-k}$ 未満の空でない閉集合となる。
長さが $n_k$ と $n_{k+1}$ の間にある列 $u$ については、長さ $n_{k+1}$ から逆順に $F_u = F_{u \smallfrown 0} \cup F_{u \smallfrown 1}$ を満たすように定義する。この定義により、$F_s = \bigcup \{F_t \mid t \text{ は } s \text{ の延長}\} = \bigcup_{i=1}^{m_s} C_{s, i}$ となり、元の $F_s$ と完全に一致する。 これにより、条件を満たす $\{F_s\}$ の構成が完了した。

【写像 $f$ の定義と連続・全射性の証明】
任意の無限列 $x = (x_0, x_1, \dots) \in 2^\mathbb{N}$ に対し、$\{F_{x \upharpoonright n}\}_{n \in \mathbb{N}}$ は空でない閉集合の減少列である。$n_k$ ステップにおいて $\mathrm{diam}(F_{x \upharpoonright n_k}) < 2^{-k} \to 0 \ (k \to \infty)$ となるため、完備距離空間におけるカントールの交叉定理により、共通部分 $\bigcap_{n=0}^\infty F_{x \upharpoonright n}$ はただ 1 点からなる。この点を $f(x)$ と定める。
・全射性： 任意の $p \in X$ をとる。$p \in F_\emptyset$ であり、常に $F_s = F_{s \smallfrown 0} \cup F_{s \smallfrown 1}$ が成り立つため、数学的帰納法により、各 $n$ において $p \in F_{x \upharpoonright n}$ となるような列 $x \in 2^\mathbb{N}$ を選択できる。この $x$ に対して $f(x) = p$ となるため、$f$ は全射である。
・連続性： 任意の $\varepsilon > 0$ に対し、$2^{-k} < \varepsilon$ となる $k$ を選ぶ。$N = n_{k+1}$ とおく。任意の $x, y \in 2^\mathbb{N}$ が $x \upharpoonright N = y \upharpoonright N$ を満たすならば、$f(x), f(y) \in F_{x \upharpoonright N}$ である。構成より $\mathrm{diam}(F_{x \upharpoonright N}) < 2^{-k} < \varepsilon$ であるため、$d(f(x), f(y)) < \varepsilon$ となる。これは $f$ が連続であることを意味する。
ゆえに、コンパクト Polish 空間 $X$ は $2^\mathbb{N}$ の連続像である。

$X$ を完備距離 $d \le 1$ を持つ空でない Polish 空間（可分完備距離空間）とする。有限な自然数列 $s \in \mathbb{N}^{<\mathbb{N}}$ に対して、$X$ の空でない閉集合 $F_s$ を以下の条件を満たすように帰納的に構成する：

1. $F_\emptyset = X$
2. 任意の $s \in \mathbb{N}^{<\mathbb{N}}$ に対して、$F_s = \bigcup_{i=0}^\infty F_{s \smallfrown i}$
3. 任意の $s \in \mathbb{N}^{<\mathbb{N}}$ に対して、$\mathrm{diam}(F_s) \le 2^{-|s|}$

【構成のステップ】
$F_\emptyset = X$ とする。$\mathrm{diam}(X) \le 1 = 2^0$ を満たす。
長さ $k$ の列 $s$ に対し、空でない閉集合 $F_s$ が構成されたと仮定する。 $X$ は可分であるから、その閉部分集合 $F_s$ も可分である。したがって、$F_s$ の中で稠密な可算点列 $\{x_{s, 0}, x_{s, 1}, x_{s, 2}, \dots\}$ をとることができる。
各 $i \in \mathbb{N}$ に対し、閉球との共通部分を $C_{s, i} = F_s \cap \{ x \in X \mid d(x, x_{s, i}) \le 2^{-(k+2)} \}$ と定義する。 点 $x_{s, i} \in C_{s, i}$ であるため、各 $C_{s, i}$ は空でない閉集合であり、その直径は $2 \times 2^{-(k+2)} = 2^{-(k+1)}$ 以下である。 また、$\{x_{s, i}\}$ は $F_s$ で稠密であるため、任意の $x \in F_s$ に対し、$d(x, x_{s, i}) \le 2^{-(k+2)}$ となる $x_{s, i}$ が必ず存在する。よって $F_s = \bigcup_{i=0}^\infty C_{s, i}$ が成立する。 そこで、$F_{s \smallfrown i} = C_{s, i}$ と定義する。これにより帰納的な構成が完了する。

【写像 $f$ の定義と連続・全射性の証明】
任意の無限列 $x = (x_0, x_1, \dots) \in \mathbb{N}^\mathbb{N}$ に対し、$\{F_{x \upharpoonright n}\}_{n \in \mathbb{N}}$ は空でない閉集合の減少列であり、$\mathrm{diam}(F_{x \upharpoonright n}) \le 2^{-n} \to 0 \ (n \to \infty)$ を満たす。 $X$ の完備性より、カントールの交叉定理から共通部分 $\bigcap_{n=0}^\infty F_{x \upharpoonright n}$ はただ 1 点からなる。この点を $f(x)$ と定める。
・全射性： 任意の $p \in X$ をとる。$p \in F_\emptyset$ である。ある段階で $p \in F_s$ であるとき、$F_s = \bigcup_{i=0}^\infty F_{s \smallfrown i}$ より、$p \in F_{s \smallfrown i}$ となる $i \in \mathbb{N}$ が少なくとも 1 つ存在する。選択公理（従属選択公理）により、すべての $n$ で $p \in F_{x \upharpoonright n}$ を満たす数列 $x \in \mathbb{N}^\mathbb{N}$ が構成できる。このとき $f(x) = p$ であり、全射性が示された。
・連続性： 任意の $\varepsilon > 0$ に対し、$2^{-N} < \varepsilon$ となる自然数 $N$ を選ぶ。任意の $x, y \in \mathbb{N}^\mathbb{N}$ が $x \upharpoonright N = y \upharpoonright N$ を満たすならば、$f(x)$ と $f(y)$ はともに $F_{x \upharpoonright N}$ に属する。$\mathrm{diam}(F_{x \upharpoonright N}) \le 2^{-N} < \varepsilon$ より $d(f(x), f(y)) < \varepsilon$ となる。したがって $f$ は連続である。
以上により、任意の空でない Polish 空間はベール空間 $\mathbb{N}^\mathbb{N}$ の連続像として表せることが証明された。